层次分析模版

step1画图建立层次模型结构

确定评价指标形成评价体系，选择最佳的方案，我们要考虑 - 评价目标是什么？ - 评价标准是什么？ - 可选方案有哪些？

注意！！使用层次分析，论文中应当出现这个图

step2列出每个指标的评价矩阵

将该表格记为矩阵，第i行j个元素记为 a_ij - (1)a_ij的含义表示i 相较于j 的重要程度.

(2)当i = j时，规定a_ij = 1.
(3)当且仅当a_ij > 0, a_ij × a_ji = 1时，称该矩阵为正互反矩阵. 这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵，有了判断矩阵，就可以得出各个评判指标之间的权重向量了

step3每一个评价矩阵进行一致性检验

正互反矩阵应当是秩1矩阵，因为显然该体系自由度为n，我们只需要矩阵的一行或一列便可以推出整个矩阵。那么自然地该矩阵特征值为n，每一个列向量都可以作为特征向量。

1.正互反矩阵A 的秩1, A 的唯一非零特征根为n;
2.正互反矩阵A 的任一列向量都是对于特征根n 的特征向量，
3.当正互反矩阵A不为一致阵时，其最大特征根λ_max > n. λ与n 相差越大，其不一致程度越大

计算一致性指标，$CI=\frac{\lambda_{\max}-n}{n-1},CI=\begin{cases}0\text{,有完全一致性}\\\text{接近}0\text{,满意的一致性}\\\\\text{越大，一致性越差}&\end{cases}$

为了衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI,先构造500个判断矩阵A₁, A₂, ..., A₅₀₀ 分别计算其λ_max,于是得到它们的一致性指标 CI₁, CI₂, · · ·, CI₅₀₀

定义一致性指标$RI=\frac{CI_1+CI_2+\cdotp\cdotp\cdotp CI_{500}}{500}=\frac{\frac{\lambda_1+\lambda_2+\cdotp\cdotp\cdotp+\lambda_{500}}{500}-n}{n-1}$,常用随机一致性指标可以查表

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
RI	0	0	0.58	0.90	1.12	1.24	1.32	1.41	1.45	1.49	1.51

$$\text{一致性指标 }CI=\frac{\lambda_{\max}-n}{n-1},\text{ 一致性比例 }CR=\frac{CI}{RI}\binom{<0.1,\text{ 判断矩阵一致}}{\geq0.1,\text{ 判断矩阵不一致}}$$

step4每一个指标评价矩阵求权重向量

方法1：算数平均值

$$\begin{aligned}&\text{对于判断矩阵}A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{bmatrix},\text{ 先将其归一化,再将归一化的矩阵按列相加,并将每个元素除以}n\\&\text{得到权重向量,即}\omega_i=\frac1n\sum_{j=1}^n\frac{a_{ij}}{\sum_{k=1}^na_{kj}}\left(i=1,2,\cdots,n\right).\end{aligned}$$